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Pythagoräische TripelEin pythagoräisches Tripel ("pT") besteht aus drei natürlichen Zahlen x, y und z mit x2 + y2 = z2. Interessant sind "teilerfremde" pT, bei denen x, y und z den größten gemeinsamen Teiler 1 besitzen ("tpT").
Satz 1 Jedes pT läßt sich auf genau eine Weise durch Multiplikation aus einem tpT und einer natürlichen Zahl gewinnen.
Satz 2 In jedem tpT ( x | y | z ) ist eine der Zahlen x oder y ("Katheten") gerade und die andere ungerade. (Es sei x immer die ungerade Kathete.)
Satz 3 Zu jedem tpT ( x | y | z ) gibt es genau ein Paar ( m | n ) natürlicher teilerfremder Zahlen mit m < n und ungleicher Parität (dh. eine der Zahlen ist gerade und die andere ungerade) so dass gilt:
x = n2 - m2, y = 2mn , z = n2 + m2 bzw. 1/2(z - x) = m2, 1/2(z + x) = n2.
Satz 4 Aus dem tpT ( 3 | 4 | 5 ) läßt sich jedes andere tpT auf genau eine Weise gewinnen durch eine Abfolge ("Sequenz") von Abbildungen A, B oder C, die hintereinander auf ( 3 | 4 | 5 ) angewendet werden mit den Abbildungsvorschriften:
A: (x|y|z) --> ( x-2y+2z| 2x-y+2z| 2x-2y+3z) [bzw. (m|n) --> (n|2n-m)]
B: (x|y|z) --> ( x+2y+2z| 2x+y+2z| 2x+2y+3z) [bzw. (m|n) --> (n|2n+m)]
C: (x|y|z) --> (-x+2y+2z|-2x+y+2z|-2x+2y+3z) [bzw. (m|n) --> (m|2m+n)]
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